If n > 0 is 20% of n greater than 10% of the sum of n and 0.5?

I. n < 0.1
II. n > 0.01

প্রদত্ত প্রশ্নটি হলো: \(n > 0\) হলে, \(n\) এর \(20\%\) কি \(n\) এবং \(0.5\) এর যোগফলের \(10\%\) এর চেয়ে বড়?

গণিতিকভাবে এটিকে একটি অসমতা (inequality) আকারে প্রকাশ করা যাক:

\(0.20 \times n > 0.10 \times (n + 0.5)\)

এই অসমতাটি সমাধান করা যাক:

\(0.2n > 0.1n + (0.1 \times 0.5)\)

\(0.2n > 0.1n + 0.05\)

অসমতার উভয় পক্ষ থেকে \(0.1n\) বিয়োগ করে:

\(0.2n - 0.1n > 0.05\)

\(0.1n > 0.05\)

অসমতার উভয় পক্ষকে \(0.1\) দিয়ে ভাগ করে:

\(n > \frac{0.05}{0.1}\)

\(n > 0.5\)

সুতরাং, মূল প্রশ্নটি আসলে জানতে চাইছে: "Is \(n > 0.5\)?" (অর্থাৎ, \(n\) কি \(0.5\) এর চেয়ে বড়?)

এবার প্রতিটি বিবৃতি (statement) বিশ্লেষণ করা যাক:

বিবৃতি I: \(n < 0.1\)

এই বিবৃতি অনুযায়ী, \(n\) এর মান \(0.1\) এর চেয়ে ছোট। যদি \(n\) এর মান \(0.1\) এর চেয়ে ছোট হয় (যেমন, \(n = 0.01\) বা \(n = 0.4\)), তাহলে \(n\) কখনোই \(0.5\) এর চেয়ে বড় হতে পারে না। এই ক্ষেত্রে, প্রশ্ন "Is \(n > 0.5\)?" এর উত্তর নিশ্চিতভাবে "No" (না)।

সুতরাং, বিবৃতি I একাই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য যথেষ্ট।

বিবৃতি II: \(n > 0.01\)

এই বিবৃতি অনুযায়ী, \(n\) এর মান \(0.01\) এর চেয়ে বড়।

    
• যদি \(n = 0.1\) হয়, তাহলে \(n > 0.01\) শর্তটি পূরণ হয়, কিন্তু \(n\) (\(0.1\)) তখন \(0.5\) এর চেয়ে বড় হয় না। এই ক্ষেত্রে প্রশ্ন "Is \(n > 0.5\)?" এর উত্তর হয় "No"।
    
• যদি \(n = 0.6\) হয়, তাহলে \(n > 0.01\) শর্তটি পূরণ হয়, এবং \(n\) (\(0.6\)) তখন \(0.5\) এর চেয়ে বড় হয়। এই ক্ষেত্রে প্রশ্ন "Is \(n > 0.5\)?" এর উত্তর হয় "Yes"।

যেহেতু বিবৃতি II থেকে আমরা নিশ্চিতভাবে "Yes" বা "No" উত্তর দিতে পারছি না, তাই বিবৃতি II একাই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়।

সিদ্ধান্ত:

বিবৃতি I একাই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য যথেষ্ট, কিন্তু বিবৃতি II একাই প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়। প্রশ্নে প্রদত্ত নির্দেশিকা অনুযায়ী, এই শর্তটি অপশন ক এর সাথে মিলে যায়।